2024年中考数学试卷中的趣味剪拼样式——钻石五边形

最近一些年的中考几何题，也在原本“考查知识内容”的基础上，开始出现一些“新花样”。例如，今年北方的某一道中考数学题，便融入了“剪拼”这个“手工元素”，似乎用一种“趣味方法”来考查考生们对于一些几何知识的运用能力。

下面这道题，围绕“钻石五边形”而展开，一同来分享一下。

真题再现

很多考生在第一眼看到下图这道题时，恐怕很容易蒙圈，根本原因则在于容易想“怎么把现成的图形剪拼成五边形啊”。可实际上，并不是“想不出剪拼方法就一定不会做”，因为下面的图13-3和图13-4已经给出了一种“剪拼方法”，考生在考场上需要做的，则是根据所学知识内容和一些几何方法、技巧，去回答、解决题中出现的一些问题。

对于这类几何题来说，大家完全可用一两分钟的时间，从图中观察出一些有价值的信息，把这些信息串联起来，说不定还能够从中找到一些突破口。

例如此题，下面的图13-1以及图13-3都是“剪拼前的图案”，都是“在一个正方形纸片中剪掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形”，则相当于“把一个正方形剪掉最上面的1/4”。

再观察具体剪拼步骤13-3和13-4，有心的考生很容易从中发现很多“等腰直角三角形”，即“45度直角三角形”。为更便于大家观察，此处特地在图13-4中增加了K、L两点的字母标记。

由此，考生在做题、解题前，便容易想到如下两点规律，这两点规律对于解题来说大有裨益。

大家在用上了看上述两点规律后，后面的很多解题、计算步骤，便迎刃而解了。

在“操作”部分，要求计算出线段EF以及BE的长度。很多考生想到了“设未知数列方程”的解法，但是，大家此时一定要注意，一定要设“容易观察且对于多数线段来说容易表示的量”来作为未知数。例如在图13-3中线段HF的长度，则比较适合作为未知数，因此可先设线段HF长度为d。

结合上面的规律2可知，剪拼后对应的线段FO长度也为d；在图13-4中容易观察出，根据规律1，线段KL长度为“根号2”倍d，因此KD长度也是“根号2”倍d；根据规律2，对应剪拼前线段AH、GH的长度也均为“根号2”倍d。根据规律1，可由HF=d得出GE=“根号2”倍d；同理，可由FO=d得出BE=“根号2”倍d。由于AH长度为“根号2”倍d，根据规律1，可得出AG长度为2d。

这样一来，图中的大部分线段便都可用d来表示。同时，也可先期总结出，与线段BE相等的线段还有线段AH、GH、GE。

由于剪拼前正方形的边长为2，即AB=2，大家便可把线段AB的长度分为三段，来代入未知数，列方程求解。

这便含有第二问的计算结果。计算第一问时，也要用上前面的规律1。

对于“探究”环节来说，大家也没必要把它想得太难。此时，大家不妨先来观察一下图13-2这个“钻石五边形”的确切规格。

如下图所示，大家可把图13-2先抄在草稿纸上，再如下图这样，作两个边的“延长辅助线”。此时，大家可发现，作完辅助线后形成的这个新四边形，不仅是一个矩形，还是一个正方形！因此，上侧的蓝色三角形也是一个直角三角形。

由于在前面的计算步骤中已经得出，EB=KD，因此对应到下面的这个“钻石五边形”中，最短的两条边是相等的，所以，上侧的蓝色三角形为一个“等腰直角三角形”。

按照这样的思路，大家便可重新定义一下“钻石五边形”——从一个正方形中的任意一个角切掉一个“等腰直角三角形”。有了这个定义总结，此题的“探究”部分就容易多了。

那么，既然钻石五边形可理解成“从一个正方形中的任意一个角切掉一个等腰直角三角形”，因此，若想把图13-5变为一个“钻石五边形”，既然图13-5图形上侧缺少一个等腰直角三角形，那么，从正方形的左下角（或右下角）便可切掉一个等大的等腰直角三角形，再把它补到图形上侧去，如下图所示。

而对于“从左下角被切掉的等腰直角三角形”，大家也要注意“说明详细尺寸”。该三角形与“被补到上侧的等腰直角三角形”全等，因此，既然上侧需要“被补”的等腰直角三角形斜边长度为2，根据上面的规律1，直角边长度为“根号2”，因此，在左下角需要切掉的等腰直角三角形的边长也为“根号2”，该长度正是线段BP的长度。裁切线PQ正好在图形的左下角切掉了一个等腰直角三角形（如上图所示），正好可以补到上侧位置。

同理，大家也可以在图形的“右下角”裁切出一个等腰直角三角形，此时的BP长度也会发生变化。