费米黄金定则:量子跃迁理论的基石与广泛应用

量子力学建立后,物理学家们很快认识到,理解微观粒子在不同量子态之间的跃迁概率,对于解释原子光谱、放射性衰变、散射过程等现象至关重要。一九二七年,狄拉克发展了含时微扰理论,为计算跃迁概率提供了系统方法。随后,费米在一九五零年给出了一个简洁而强大的公式,用于计算从初态到一组连续终态的跃迁速率,这个公式后来被称为费米黄金定则。虽然名称中带有"黄金"二字,但这并非费米本人的命名,而是后人对其重要性和普适性的赞誉。费米黄金定则将量子力学的微扰理论与统计物理中的态密度概念结合,给出了跃迁速率的解析表达式,成为原子物理、核物理、凝聚态物理、粒子物理等领域不可或缺的工具。从原子的自发辐射到半导体中的光吸收,从β衰变到中子散射,费米黄金定则的应用无处不在,它不仅帮助我们理解自然现象,还指导着激光器、太阳能电池、核反应堆等技术的设计。

含时微扰理论与跃迁概率的推导

量子系统的演化由含时薛定谔方程描述:iħ ∂|ψ(t)⟩/∂t = H|ψ(t)⟩,其中H是系统的哈密顿算符。当系统受到外部微扰时,总哈密顿量可以分解为H = H_0 + V(t),其中H_0是未受扰系统的哈密顿量,V(t)是微扰项。假设我们已经知道H_0的本征态|n⟩和本征能量E_n,满足H_0|n⟩ = E_n|n⟩。系统的态可以展开为这些本征态的线性叠加:|ψ(t)⟩ = ∑_n c_n(t) exp(-iE_n t/ħ)|n⟩,其中时间相关的系数c_n(t)包含了微扰的影响。

将这个展开代入薛定谔方程,利用本征态的正交归一性,可以得到系数演化的微分方程:

iħ dc_n/dt = ∑_m V_nm(t) exp(iω_nm t) c_m(t)

其中V_nm(t) = ⟨n|V(t)|m⟩是微扰的矩阵元,ω_nm = (E_n - E_m)/ħ是跃迁角频率。这是一个耦合的微分方程组,精确求解通常很困难。微扰理论的思路是按照微扰强度的幂次展开系数,逐阶求解。

假设系统在t = 0时处于初态|i⟩,即c_i(0) = 1,其他c_n(0) = 0。在一阶微扰近似下,认为微扰很弱,系数的变化很小,可以在右边用零阶近似c_m(t) ≈ δ_mi。这样得到:

iħ dc_n^(1)/dt = V_ni(t) exp(iω_ni t)

积分这个方程从0到t,得到n ≠ i的态的一阶系数:

c_n^(1)(t) = -(i/ħ) ∫_0^t V_ni(t') exp(iω_ni t') dt'

跃迁到态|n⟩的概率为P_i→n(t) = |c_n^(1)(t)|^2。对于常微扰,即V(t) = V为常数的情况,积分可以显式计算:

c_n^(1)(t) = -(i/ħ) V_ni [exp(iω_ni t) - 1]/(iω_ni) = V_ni [exp(iω_ni t) - 1]/(E_n - E_i)

跃迁概率为:

P_i→n(t) = |V_ni|^2 |[exp(iω_ni t) - 1]/(E_n - E_i)|^2 = (4|V_ni|^2)/(E_n - E_i)^2 * sin^2[(E_n - E_i)t/(2ħ)]

这个表达式显示了能量守恒在量子跃迁中的体现:当E_n ≈ E_i时,sin^2项分母小,跃迁概率大;当能量差很大时,跃迁被抑制。更精确地,利用恒等式lim_(ε→0) sin^2(x/ε)/(x^2) = (π/2)δ(x),可以看出在长时间极限下,跃迁速率Γ_i→n = dP_i→n/dt趋向于与δ函数相关的形式,这正是能量守恒的体现。

费米黄金定则的标准形式

在许多实际问题中,终态不是单个离散能级,而是连续谱中的一组态,例如光电离过程中电子可以有连续的动能,或者粒子衰变后产物可以有各种能量和动量组合。此时需要对所有可能的终态求和或积分。设终态的能量密度为ρ(E_f),即能量在E_f到E_f + dE_f之间的态数为ρ(E_f)dE_f。从初态|i⟩到能量为E_f的一组终态的总跃迁速率为:

Γ_i→f = (2π/ħ) |V_fi|^2 ρ(E_f) δ(E_f - E_i)

这就是费米黄金定则的标准形式。这里V_fi = ⟨f|V|i⟩是跃迁矩阵元,δ函数保证能量守恒,ρ(E_f)是终态的态密度。注意这个公式中出现了2π/ħ的因子,这来自于前面sin^2函数在长时间极限的处理,以及对连续谱的积分。

费米黄金定则的物理意义非常清晰:跃迁速率正比于跃迁矩阵元的模方,这反映了微扰耦合的强度;正比于终态密度,这表明终态越密集,跃迁越容易发生;能量守恒由δ函数严格保证。这三个因素共同决定了跃迁的快慢。值得强调的是,费米黄金定则是一阶微扰理论的结果,要求微扰足够弱,使得一阶近似有效,同时时间足够长,使得能量守恒的条件能够精确满足。

终态密度ρ(E_f)的计算依赖于具体的物理问题。对于自由粒子,动量空间的态密度是均匀的,每个动量态占据体积(2πħ)^3/V,其中V是归一化体积。从动量p到能量E的变换需要用雅可比行列式,对于非相对论粒子E = p^2/(2m),有ρ(E) = V(2m)^(3/2)E^(1/2)/(2π^2 ħ^3)。对于相对论粒子E = sqrt(p^2 c^2 + m^2 c^4),态密度的形式更复杂。对于束缚态如原子能级,态密度是离散的,δ函数集中在特定能量上。准确计算态密度往往是应用费米黄金定则的关键步骤。

原子的自发辐射与受激辐射

原子在激发态的自发辐射是费米黄金定则最经典的应用之一。考虑一个原子从激发态|e⟩跃迁到基态|g⟩,同时发射一个光子。初态是原子处于激发态且光场处于真空态,终态是原子在基态且光场中有一个光子。微扰哈密顿量来自原子电偶极矩与电磁场的相互作用:V = -d^ · E^,其中d^是电偶极矩算符,E^是电场算符。在量子化电磁场中,电场可以展开为湮灭和产生算符的线性组合。

计算跃迁矩阵元时,只有产生算符贡献,因为我们需要从真空创生一个光子。矩阵元为V_fi = -⟨g, 1_k|d^ · E^|e, 0⟩,其中|1_k⟩表示动量为ħk、偏振为某个方向的单光子态。利用电偶极近似,跃迁矩阵元正比于电偶极跃迁矩d_ge = ⟨g|d^|e⟩和光子模式函数。经过详细计算,自发辐射速率为:

Γ_sp = (ω^3 |d_ge|^2)/(3πε_0 ħ c^3)

其中ω = (E_e - E_g)/ħ是光子频率。这个公式显示,自发辐射速率与频率的三次方成正比,这解释了为何紫外光的自发辐射比红外光快得多。对于氢原子的2p→1s跃迁,ω约为2.5 × 10^15 rad/s,代入数值可得自发辐射寿命约为1.6纳秒,与实验测量一致。

受激辐射是原子在外加光场作用下从激发态跃迁到基态并发射光子的过程。与自发辐射不同,初态已经包含光子,终态有更多光子。受激辐射速率由类似的公式给出,但需要包含初态光场的光子数n_k。爱因斯坦在一九一七年通过热平衡论证得出受激辐射系数B与自发辐射系数A之间的关系:B = (c^3 A)/(8πħω^3)。这个关系后来被量子场论严格证明,成为激光理论的基础。激光器通过粒子数反转使受激辐射占主导,产生相干光输出。

光吸收是受激辐射的逆过程,原子从基态跃迁到激发态并吸收光子。吸收截面σ_abs与跃迁矩阵元和态密度相关,具体形式为σ_abs = (πω|d_ge|^2)/(ε_0 ħ c) g(ω),其中g(ω)是线型函数,描述吸收线的频率分布。自然线宽来自激发态的有限寿命,根据能量-时间不确定关系Δω ≈ 1/τ,寿命越短线宽越宽。洛伦兹线型g(ω) = (γ/2π)/[(ω - ω_0)^2 + (γ/2)^2]是常见的形式,其中γ = 1/τ是阻尼常数。多普勒效应会引入额外的展宽,特别是在气体中,原子的热运动使得不同速度的原子看到的光子频率不同,导致高斯型的多普勒展宽。

半导体中的光吸收与光电效应

半导体的光吸收是太阳能电池和光探测器的物理基础。当光子能量ħω大于半导体带隙E_g时,价带电子可以吸收光子跃迁到导带,产生电子-空穴对。这个过程可以用费米黄金定则描述,初态是价带中某个动量为k的电子,终态是导带中动量为k'的电子加一个空穴。由于晶格具有平移对称性,动量守恒要求k' = k + q,其中q是光子动量。但光子动量ħq = ħω/c远小于电子动量,因此通常认为k' ≈ k,称为垂直跃迁。

吸收速率对光子能量的依赖通过联合态密度体现。联合态密度ρ_cv(ω)是满足能量守恒条件E_c(k) - E_v(k) = ħω的所有k态的密度。对于直接带隙半导体如GaAs,价带顶和导带底在同一k点,联合态密度在带边附近正比于sqrt(ħω - E_g)。吸收系数α(ω) ∝ |M_cv|^2 ρ_cv(ω),其中M_cv是价带到导带的跃迁矩阵元。因此α(ω) ∝ sqrt(ħω - E_g),在带边呈平方根型上升。对于间接带隙半导体如硅,价带顶和导带底在不同k点,垂直跃迁不能满足动量守恒,必须伴随声子的吸收或发射来补偿动量差,这使得吸收过程是二阶的,吸收系数较小。

光电效应的量子效率定义为产生的电子-空穴对数与入射光子数之比。理想情况下,每个能量大于带隙的光子都应该产生一个电子-空穴对,量子效率为100%。但实际中存在多种损失机制:A)表面反射损失,可以通过减反射膜减小;B)低能光子无法激发跃迁,这由带隙决定;C)高能光子激发的载流子会通过声子发射快速弛豫到带边,多余能量转化为热,这是热化损失;D)载流子复合,特别是通过缺陷或表面态的非辐射复合。提高量子效率需要综合优化这些因素,现代硅太阳能电池的外量子效率在可见光波段可达90%以上。

激子效应在低维半导体中特别显著。激子是电子和空穴通过库仑相互作用形成的束缚态,其能级位于带隙之下。激子的吸收谱显示为带边下方的锐线,称为激子峰。在量子阱、量子线、量子点等低维结构中,激子束缚能因为量子限制效应增强,室温下也能观察到明显的激子吸收。量子点的态密度是δ函数型的离散能级,吸收谱呈现尖锐的峰,这使得量子点成为单光子源和量子信息处理的理想材料。通过控制量子点的尺寸和组分,可以精确调节吸收和发射波长,实现从紫外到红外的全谱覆盖。

核物理中的β衰变与弱相互作用

β衰变是原子核通过弱相互作用将中子转变为质子(β^-衰变)或质子转变为中子(β^+衰变或电子俘获)的过程。以β^-衰变为例,中子衰变为质子、电子和反中微子:n → p + e^- + ν̄_e。这个过程的速率可以用费米黄金定则计算,微扰哈密顿量来自弱相互作用,在费米理论中表示为四费米子点接触相互作用,虽然现代理论用W玻色子交换描述,但在低能区有效理论仍是四费米子形式。

β衰变速率依赖于核矩阵元和相空间因子。核矩阵元M_fi包含了初态和终态核波函数的重叠,以及弱相互作用算符的贡献,它的计算需要核结构理论。相空间因子来自电子和反中微子的终态密度,由于它们都是费米子,需要对所有允许的动量组合积分。对于允许跃迁,即初终态核自旋宇称变化为0或±1且宇称不变,相空间积分可以解析完成,得到:

Γ_β ≈ (G_F^2 |M_fi|^2 m_e^5 c^4)/(2π^3 ħ^7) F(Z, Q)

其中G_F是费米常数,F(Z, Q)是费米函数,包含库仑修正和Q值(衰变释放的能量)的依赖。半衰期t_(1/2) = ln2/Γ_β与Q值的五次方成反比,这解释了为何Q值大的衰变半衰期短。例如,^14C的β衰变Q值仅156 keV,半衰期长达5730年,用于放射性测年;而^17N的Q值8.68 MeV,半衰期仅4.17秒。

禁戒跃迁是指初终态核自旋宇称变化不满足允许跃迁条件的β衰变。此时主导的跃迁矩阵元包含更高阶的多极矩,相空间积分也更复杂,导致衰变速率显著降低。一次禁戒跃迁的半衰期通常比允许跃迁长几个数量级,二次禁戒更长。^40K到^40Ca的β衰变是二次禁戒跃迁,半衰期达1.25 × 10^9年,是地质测年的重要依据。禁戒度越高,核矩阵元越依赖于核结构的细节,计算也越困难,这使得精确预言某些核的β衰变寿命仍是核物理的挑战。

双β衰变是两个β衰变同时发生的罕见过程,通常的双β衰变伴随两个反中微子放出,是二阶弱相互作用过程,半衰期超过10^19年。无中微子双β衰变0νββ是假设的过程,如果发生意味着中微子是马约拉纳粒子且轻子数不守恒。这个过程的速率由核矩阵元和中微子有效质量m_ββ决定,目前实验给出的半衰期下限超过10^25年,对应m_ββ

散射过程与微分截面的计算

散射实验是探测微观粒子相互作用的主要手段,散射截面是描述散射概率的物理量。微分散射截面dσ/dΩ定义为单位立体角内的散射速率除以入射粒子流密度。费米黄金定则提供了计算散射截面的系统方法,通过将散射视为从初态(入射粒子)到终态(出射粒子)的跃迁。

以电子-原子的弹性散射为例,初态是动量为p_i的自由电子和处于基态的原子,终态是动量为p_f的电子和仍在基态的原子。微扰是库仑相互作用,散射速率为Γ = (2π/ħ)|V_fi|^2 ρ(E_f)。终态电子的态密度ρ(E_f) = V p_f^2/(2πħ)^3 dp_f,能量守恒要求E_f = E_i,因此dp_f = (p_f/v_f)dE_f,其中v_f是终态电子速度。入射粒子流密度j = v_i/V,微分截面为:

dσ/dΩ = (Γ/j) = (V^2/(2πħ)^2 v_i v_f) |V_fi|^2 p_f^2

这个公式的关键是计算跃迁矩阵元V_fi。对于库仑散射,玻恩近似下V_fi正比于原子的形状因子F(q),其中q = p_i - p_f是动量转移。对于氢原子,形状因子可以解析计算,得到卢瑟福-玻恩公式,它在小角度与经典的卢瑟福公式一致,但在大角度有量子修正。

中子-原子核散射在核反应堆和中子散射实验中至关重要。低能中子(几eV到几百eV)的散射由核力决定,可以用部分波展开方法处理。每个角动量分波的相移δ_l包含了散射的全部信息,总散射截面σ_total = (4π/k^2) ∑_l (2l+1) sin^2(δ_l),其中k是中子波数。共振散射发生在中子能量接近复合核的某个能级时,此时相移快速通过π/2,截面呈现布莱特-维格纳共振峰:σ_res = (πλ^2)/(2I+1) * (Γ_n Γ_γ)/[(E - E_R)^2 + (Γ/2)^2],其中E_R是共振能量,Γ_n和Γ_γ分别是中子和γ通道的部分宽度,I是核自旋。测量共振参数可以确定核能级的性质,这是核结构研究的重要方法。

深度非弹性散射用高能电子或μ子轰击质子,探测质子的内部结构。在高能量和大动量转移下,电子与质子内部的夸克发生散射,微分截面包含结构函数F_1(x, Q^2)和F_2(x, Q^2),它们编码了夸克的动量分布。比约肯标度指出,在Q^2 → ∞极限下,结构函数只依赖于标度变量x = Q^2/(2Mν),这是夸克作为点粒子的证据。通过测量不同能量和角度的散射截面,可以提取出各种夸克的部分子分布函数,这是理解强子结构和量子色动力学的实验基础。

凝聚态物理中的输运与弛豫过程

电子在固体中的输运涉及大量散射过程,费米黄金定则是计算散射速率的基本工具。电子-声子散射是金属和半导体中电阻率温度依赖的主要来源。声子吸收和发射过程中,电子从态|k⟩跃迁到|k'⟩,能量和动量守恒要求E(k') = E(k) ± ħω_q和k' = k ± q,其中ω_q是声子频率,q是声子波矢。散射速率为:

Γ_k→k' = (2π/ħ) |M_k,k'|^2 [n_q δ(E_k' - E_k - ħω_q) + (n_q + 1) δ(E_k' - E_k + ħω_q)]

其中M_k,k'是电子-声子耦合矩阵元,n_q是声子的玻色分布函数。在高温下n_q ≈ k_B T/(ħω_q),散射速率正比于温度,导致电阻率ρ ∝ T。低温下声子数减少,散射率降低,电阻率下降,最终趋于剩余电阻,这是杂质散射的贡献。

杂质散射对低温输运和半导体器件性能有重要影响。带电杂质如施主或受体产生库仑势,散射电子或空穴。在玻恩近似下,微分散射截面正比于屏蔽库仑势的傅里叶变换平方,得到布鲁克斯-赫林公式或康威尔-魏斯科普夫公式,它们在不同屏蔽近似下略有不同。杂质散射的特点是低温下主导,且更倾向于大角度散射,因此对迁移率的影响比声子散射更显著。高纯度半导体如用于红外探测器的HgCdTe,杂质浓度可以低到10^14 cm^(-3),使得低温迁移率超过10^6 cm^2/(V·s)。

自旋弛豫是自旋电子学和量子信息中的关键过程。自旋翻转可以通过自旋-轨道耦合、超精细相互作用、磁杂质等机制发生。Elliot-Yafet机制中,动量散射伴随小概率的自旋翻转,弛豫时间τ_s与动量弛豫时间τ_p成正比:τ_s/τ_p ∝ (E_g/Δ_so)^2,其中E_g是带隙,Δ_so是自旋-轨道分裂。Dyakonov-Perel机制在缺乏反演对称的晶体中发生,自旋在有效磁场中进动,散射打断进动,导致自旋退相干,弛豫时间τ_s ∝ 1/τ_p,与Elliot-Yafet机制相反。理解这些机制对设计长自旋寿命的材料至关重要,例如GaAs中电子自旋寿命可达纳秒,而硅中因自旋-轨道耦合弱可达微秒。

光学声子的发射是高场输运中的重要能量损失机制。当电子在强电场中加速,获得的能量超过光学声子能量ħω_LO时,会通过发射光学声子快速冷却。发射速率极高,约为10^13 s^(-1),使得电子难以被加速到更高能量,这限制了器件的高频性能。在GaN等宽带隙半导体中,光学声子能量约90 meV,对应的电场阈值较高,因此高场迁移率和饱和速度优于GaAs,使其适合高功率高频器件。热声子效应描述的是非平衡声子分布对输运的影响,在高注入或强泵浦条件下,声子数远超平衡值,增强电子-声子散射,降低迁移率,这在激光器和太阳能电池的性能优化中需要仔细考虑。

费米黄金定则作为量子力学微扰理论的精髓,为计算各种跃迁和散射过程的速率提供了统一的框架。从狄拉克的含时微扰理论出发,通过巧妙地处理连续态的求和,费米导出了这个简洁而强大的公式,将跃迁速率与矩阵元、态密度、能量守恒三个要素联系起来。在原子物理中,费米黄金定则解释了自发辐射、受激辐射和光吸收,为激光器和光谱学奠定了理论基础。在半导体物理中,它描述了光电效应和载流子输运,指导着太阳能电池、光探测器、半导体激光器的设计。在核物理中,它揭示了β衰变和核反应的速率规律,为核能利用和核测年提供了定量工具。在散射理论中,它给出了微分截面的计算方法,是高能物理实验数据分析的基础。在凝聚态物理中,它描述了各种弛豫和输运过程,帮助理解材料的电学、光学、自旋性质。费米黄金定则的成功在于它抓住了量子跃迁的本质:弱耦合下的一阶过程,能量守恒,相空间体积的重要性。虽然它是微扰理论的结果,有适用范围的限制,但在绝大多数实际问题中,这个公式提供了足够精确的预言。从基础研究到技术应用,费米黄金定则已经成为物理学家工具箱中不可或缺的利器,它的普适性和简洁性将继续在未来的科学探索和技术创新中发挥重要作用。