成 九宫格三数和幻方经典型中鲜为人知的等差数列【q21】

一前言

我们熟知，在九宫格三数和幻方经典型中，存在多种等差数列等差数列。例如，完成图的米字线上有四组三数构成的等差数列，黄金三角形中的四组等差数列。这些等差数列为高效求解九宫图带来了很大的帮助。

本文案继续分享三数和幻方经典型中的等差数列，这些等差数列是鲜为人知的。掌握它为高效求解带来了重大突破。

二 鲜为人知的三数和幻方经典型中的等差数列。

（一）代数意义上的等差数列

构成的九数有两类，一类是等差数列，一类是三段两等差数列。

无论哪一类都可以分为三段。这三段都存在着同位差，段内差，段间差，都存在着同位数(分为首位同位数，中位同位数和末位同位数三类)。在这些概念上又存在着很重要的等差数列(代数意义上的等差数列)。

1 三类同位数中，每一类都构成等差数列，共三组等差数列。

2 每一段上的三数和构成三组等差数列。

（二）实例分析：以九数1 3 5、10 12 14 、19 21 13构筑三数和幻方九宫图为例。

1 三类同位数中，每一类都构成等差数列，共三种等差数列。且他们的公差相等。

1 3 5、10 12 14 、19 21 13分成三组，如下图所示

2 每一段上的三数和构成三种等差数列。

说明：每一种等差数列都涉及到三个数，这三个数则具备“知二求一”的特征。

（三）应用实例

【实例】如下图所示的九宫格，用逆Z字法填入数4，在空格中填入不同的自然数，满足①第一与第七占位数之和是22，且段内差小 ；②横行，竖列及对角线上三数之和都相等。

分析与求解

由Z字法与4的占位可知，最小数是4(及第一占位数)。又由第一与第七占位数之和是22，推出第七占位数是22-4=18。再由第1 4 7占位数(首位同位数)构成等差数列推得第四占位数是4和18的算术平均数11。

再利用段内差最小(即1)，便可得出九数4 5 6 11 12 13 18 19 20

完成图如下。

三练习

【练习】如下图所示的九宫格，用口诀法填入数18，在空格中填入不同的自然数，满足①第二与第八占位数之和是22，且段间差小 ；②横行，竖列及对角线上三数之和都相等。

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