高考数学冲刺：导数破解极值点的 “黄金三角”
发布时间：2025-10-11 18:14 浏览量：34
在高考数学的导数模块中，极值点问题堪称 “拦路虎”。这类题目看似变化多端，实则暗藏规律。掌握核心逻辑
导数为零或不存在：例如函数 f (x)=|x | 在 x=0 处导数不存在，但此处是极小值点。两侧单调性改变：若导数在临界点左右符号相反，才是真正的极值点。比如 f (x)=x³ 的导数 f’(x)=3x²，在 x=0 处导数为零，但两侧导数均为正，因此 x=0 不是极值点。1. 求导找候选点对函数求导后，解方程 f’(x)=0，得到的 x 值即为 “候选极值点”。例如 f (x)=x²-4x+3，导数 f’(x)=2x-4，令 2x-4=0 得 x=2。
2. 符号检验定真伪用 “穿根法” 或列表法分析导数在候选点两侧的符号变化：
极大值点：导数由正变负（如 f (x)=-x²+4x 在 x=2 处）。极小值点：导数由负变正（如 f (x)=x² 在 x=0 处）。非极值点：符号不变（如 f (x)=x³ 在 x=0 处）。3. 二阶导数辅助判计算二阶导数 f''(x)：
f''(x)>0 ⇒ 极小值点f''(x)f''(x)=0 ⇒ 需回归一阶导数判断求导得 f’(x)=3x²-6ax+3a²=3 (x-a)²令 f’(x)=0 得 x=a（二重根）分析导数符号：无论 a 取何值，x=a 两侧导数均非负，因此该函数无极值点。当导数为二次函数时，通过判别式 Δ 判断极值点个数：Δ>0 ⇒ 两个极值点Δ=0 ⇒ 一个极值点（需验证是否为拐点）Δ