数学活动：探究一元二次方程公共解条件与神奇的线段分割
发布时间：2026-09-18 08:25 浏览量：2
数学活动 1：探究一元二次方程公共解的条件
一、基本信息
•学科：初中数学
•年级：九年级上册
•所属章节：第 25 章一元二次方程 章后数学活动
•课时：1 课时（40 分钟）
•授课对象：九年级学生（两极分化，代数推理能力参差不齐）
•核心素养：
逻辑推理、数学运算
二、活动分析
教材分析
本活动是一元二次方程章后的代数拓展探究。利用
方程根的定义
，若
是方程的根，则代入等式成立。通过将公共解代入三个含参数一元二次方程，进行代数式相加、因式分解推理，得到参数
满足的关系，求出公共解。重在训练演绎推理，不侧重复杂计算，提升学生代数思维。
学情分析
学生掌握一元二次方程根的概念、因式分解；但多个方程联立推理对本班部分基础薄弱学生难度较大。采用小组合作，设置阶梯式问题引导，降低思维门槛。
活动目标
1.
知识与技能
：理解 “多个方程的公共解” 含义；会利用根的定义代入方程进行代数推理，得到参数关系，求出公共解。
2.
过程与方法
：经历猜想、代入、变形、因式分解、辨析取舍的完整探究过程。
3.
核心素养
：逻辑推理（演绎推理）、数学运算（代数式化简、因式分解）。
4.
情感态度
：感受代数推理的严谨性，体会小组合作探究的乐趣。
活动重难点
•重点：利用公共解代入方程进行推理；得到条件
，公共解
。
•难点：三个方程等式相加的变形思路；判断
恒成立。
三、活动准备
多媒体、学生探究任务单、草稿纸
四、活动过程（40 分钟）
（一）活动导入（3 分钟）
教师提问：什么叫做方程的解？什么叫几个方程的
公共解
？ 预设：能够同时满足所有方程的未知数的值，叫做这些方程的公共解。
出示活动问题： 已知
，有三个一元二次方程： ①
②
③
如果这三个方程恰有一个公共解，请探究：
满足什么条件？这个公共解是多少？
板书：数学活动 1 探究方程公共解的条件
（二）小组合作探究（22 分钟）
探究任务 1（6 分钟）：写出代入后的等式
设三个方程的公共解为
，根据方程根的定义，把
分别代入三个方程：
小组讨论：把三个等式左右两边分别相加，可以得到怎样的式子？
学生动手运算得到：
提取公因式：
探究任务 2（7 分钟）：分析乘积为 0 的两种情况
思考：两个因式相乘等于 0，则至少其中一个因式等于 0。 ①分析
，配方：
因为平方数非负，
，所以
恒成立，
不可能等于 0
。
②因此只能得到：
。
探究任务 3（7 分钟）：求公共解、辨析题意 “恰有一个公共解”
由
，得
，代入方程①
，分组因式分解：
解得
或
。
检验：把
代入①②③，结合
，等式全部成立，故
是公共解。
辨析：题目条件 “恰有一个公共解”：
是三者共同的根，各个方程的另外一个根互不相同，因此仅有
这一个公共解。
1.小组代表上台展示推导过程；
2.师生共同总结活动结论：
条件：；三个方程公共解：。
教师点拨易错：不要忽略
恒大于 0 的判断，不能错误认为它可以等于 0。
（四）活动小结与作业（5 分钟）
小结：解决公共解问题的核心思路：
把公共解代入每一个方程，再进行代数变形推理
。 作业：整理本次活动完整推导过程写在笔记本；选做：举一组满足
的数字，验证
是三个方程的公共解。
五、板书设计
数学活动 1 探究一元二次方程公共解的条件
设公共解为
，代入三方程 三式相加：
，公共解
⚠️关键点：公共解必须同时满足全部方程。
六、活动反思
1.本班部分学生想不到 “三式相加”，教学中需要设置小台阶提示；
2.学生容易忽略对
符号判断，是推理关键；
3.小组活动要兼顾学困生，巡视时对推理困难小组做适度引导，不要直接给出答案。
数学活动 2：神奇的线段分割
一、基本信息
•核心素养：
模型观念、几何直观、数学运算
二、活动分析
教材分析
本活动是代数与几何综合探究。给定总线段分割为三段
，满足
。将几何线段条件转化分式方程，化简得到一元二次方程，求出线段比值（黄金分割比），再使用尺规作图画出分割点。实现 “几何条件→建立方程→代数求解→几何作图” 完整的数形结合探究。
学情分析
学生已经会解一元二次方程，掌握基础尺规作图；分式化简、构造
的尺规作图对部分学生存在挑战。采用小组合作，分工：一部分同学负责代数推导，一部分同学负责尺规作图。
活动目标
1.
知识与技能
：能把线段的数量条件转化为一元二次方程；求出三条线段的比值；会用尺规作图作出线段分割点。
2.
过程与方法
：经历几何情境→建立方程→解方程→几何作图的数形结合探究全过程。
3.
核心素养
：模型观念（几何条件转化代数方程）；数学运算（分式化简、解一元二次方程）；几何直观（尺规作图）。
4.
情感态度
：感受代数和几何的内在联系，体会黄金分割的数学美。
活动重难点
•重点：根据线段条件建立一元二次方程模型，求出线段比值。
•难点：分式化简变形；利用尺规构造含
长度的线段，完成分割作图。
三、活动准备
多媒体、探究任务单、直尺、圆规、草稿纸
四、活动过程（40 分钟）
（一）活动导入（3 分钟）
教师导入：很多几何线段问题，可以通过列一元二次方程来解决。今天我们探究一道神奇的线段分割问题。
出示活动问题： 把一条整条线段分割成长度两两不等的三段，三段长记为
，且
，满足两个条件： ①
；②
。 任务：
1.求
三者之间的比值；
2.使用直尺和圆规，画出原线段上的两个分割点。
板书课题：数学活动 2 神奇的线段分割
（二）小组合作探究（25 分钟）
探究任务 1：代数建模，求线段比值（13 分钟）
已知
，将其代入
，得到：
小组内完成通分、去分母化简：
两边同时除以
，设比值
得到一元二次方程：
解方程：
，线段长度为正数，舍去负根。
，即
（黄金分割比）。
结合
，推导出三者比例：
。
素养渗透：把几何条件转化为代数方程，落实模型观念。
探究任务 2：尺规作图，作出分割点（12 分钟）
任务：给定完整线段
，总长度
，在线段
上作出两个分割点，分出三段长度
。
教师提示作图思路：
1.利用直角三角形构造长度含
的线段；
2.根据已经求出的比值，用圆规依次在
上截取线段
、
，剩下部分即为
；
3.标记两个分割点。
小组动手操作，教师巡视指导作图，纠正圆规截取的常见错误。
（三）成果展示交流（7 分钟）
1.小组展示：展示化简得到的方程、比值结果；展示尺规作图作品。
2.师生总结：本活动先把几何条件翻译成代数方程，解方程得到比例，再回到几何作图，是典型
数形结合思想
。
（四）小结与作业（3 分钟）
小结：几何问题可以转化为一元二次方程求解，求出结果之后还可以用尺规作图在图形上实现。 作业：整理化简推导过程；选做：自己改变条件，尝试探究新的线段比值。
五、板书设计
数学活动 2 神奇的线段分割
条件：
代入化简得：
令
（黄金分割比） 作图：构造
线段，圆规依次截取三段。
六、活动反思
1.分式去分母化简，本班部分基础薄弱学生容易计算出错，小组内可以互助完成；
2.尺规作图耗时，课前准备任务单，减少课堂画图负担；
3.要区分代数计算和几何作图两个任务，关注两类不同学情学生的困难点。